本日は類等式について考えるけど、それ以前の部分のまとめが中心かも
群の位数について考えるけど、とりあえず基本的、というか当然押さえておくべきことを一通りまとめてみる。そうでないといちいち以前のことを参照しないといけなくなるし。まぁ慣れちゃえばそんなこともなくなると思うけどね。
ともかくそんな感じで一個一個、行きますか。
まずはこれ。
よくよく考えれば当然だけど、いきなり剰余類の位数が１だと言われてもその情報から何かを引き出すのは初学者には難しい。よってこのように確認事項としておくわけ。
続いてこちら。
単なる定義だけど、xの中心化群については前回もやってるし、式の変形は大丈夫なはず。あと中心化群とか出てきてる時点でお察しだけど、作用は共役作用で考えてます。
共役類を考えてるんだから当然と言えばそうなんだけど、いちいち言わないというのもそれはそれで問題か。少なくとも今の自分はこの辺のことについて余裕をかませるわけじゃないんだし。
まぁいいや。続いてこちら。
これは前回の記事にも乗せたけど、剰余類から軌道への全単射から来る位数についてのあれこれをまとめてみた感じ。位数で考えると全部イコールで結ばれるね。
軌道の表示は2種類あって自分も適当に選んでるので、どっちが出てもあわてないようにしたい。同じことなんだしね。
さらに作用から来る同値類（軌道が同じ、という同値関係ね）が軌道と同じ、というのも意識はしておいた方がよかろう。恐らく間違いはないと思うけど。
あと、剰余類の位数を分数で表すのも慣れておくべき。
最後にこの関係から次が言えることにも注意したい。
ラグランジュの定理だけど、確認はしておくべき。
続いてこちら。
これは単に中心の定義だけど、中心は部分群なので次が成り立つだろう。
どんどん約数とかが出てくるね。でももともとの群であるGについての話だから、ついていけないこともあるまい。
続いては確認というか、何が言えるか？というのの確認なんだけど、まずはこんな式を考える。
xの同値類に含まれる元が1つだけ、ということだけど、反射律からxはC(x)にふくまれるから、このことは結局こうなるはず。
xの同値類はxの軌道とも等しいのでそれもかっこで指摘しておく。さらにここまでの確認事項から次も言えるはず。
さらに次も言えるだろう。
一応証明はこちら。大したことはないが。
この流れは逆もたどれるはずなので、結局次がいえることになるだろう、と。
この結果は割と重要で、共役類の位数が１の元は中心に入るし、逆に中心に含まれる元なら、その元を代表元とする共役類の位数が１になる、ということ。この辺は類等式を考えるうえで重要になってくる。
さて、とりあえずこの辺までが類等式を考察するのに必要な知識、という感じ。この辺があやふやだと類等式についての考察も何かと不便なはず。まぁともかく先に行きますか。
まず類等式についてだけど、あれこれ見ていきますね。
直和の記号は自信なし。こんな感じだったと思うけど。あと、現在の考察は有限群で行っていることは言っておくべきだったか。ともかくGが共役類の直和で表せることはいいだろう。
さらに単位元の共役類について確認として次を指摘しておく。
これも共役類についてだから当然の結果と言える。さらにここから単位元eが中心に含まれることがわかるが、e以外にも中心に含まれる元なら、その同値類の位数は全部１になることは改めて指摘しておく。
さて、ここでいよいよ類等式に入るけど、根本は上に書いた、Gの位数を共役類の各位数の和で表す、という感じ。
和の形で出てくる数字は、まず中心に含まれる元なら共役類の位数は1であり、中心の位数はGの位数の約数だから、結局まず１がGの位数の約数個だけ出てくるだろう、と。
一応注意として、単位元がある以上最低でも一個は１が出てくるはず。
さらに位数が1より大きい共役類についてだけど、出てくる数字は当然Gの位数の約数になる。これは初めの方に書いたとおり、ラグランジュの定理から出てくる話。
もちろんこれはGの位数が必ず出てくるとか、そういう意味ではないことは注意。いくつ出るかも、或いはそもそも出てくるかもわからないが、出てくるならそれは必ず約数である、ということね。図中の書き方は良くない気がする。
さて、とりあえず類等式についてはこんなところ。あれこれ出てくる話をつなぎ合わせるのに時間がかかったよ。さらに理解、という意味でも自信があるとは言えない状況。
一応今後はAKITOさんの講義で出てきた例題、位数が素数の2乗、というやつね、あれとかを記事にしてもいいんだけど、ここで解答を書く意味も感じられないね。講義動画を見たほうが確実だし、わかりやすいだろうし。
類等式についての考察は他にもいくつかあったと思うけど、自分が理解できるならとりあえず定理とかを並べるだけで十分だろうと感じます。もちろん必要があれば解説は入れるつもりだけど。
今後はその辺をみて、例題を見てみるか、それとも先に進むか決めたいと思います。
