近傍とか基本近傍系というのは局所的な概念、ということでいいのかな
定義を見てみると近傍とか基本近傍系というのは、位相空間の一つの元に対して使われているようで、そのことをあらためて意識しておくと理解がしやすいかも。自分は初めて基本近傍系という言葉を目にしたとき、わりと大域的な概念だろうと勝手に思ってたし。
さて、それでは本日だけど、基本近傍系について考えていきたいと思う。テキストはいつも通りこちらね。
とりあえず近傍については前回やってあるのでいいか。でも定義だけは示しておこうかな。こんな定義だったはず。
さらに今回学習する基本近傍系の定義がこちら。
近傍との定義の違いは、Vに含まれる集合Uをどこから取ってくるのか、というくらいしかない。さらにテキストによるとこれと同値な命題がこちら。
定義の近傍を開近傍に置き換えても同じだよ、ということ。近傍よりは開近傍の方がずっと絞られてるんだから、よりタイトに言い換えられた、言えるだろう。
ちなみにこの辺の言いかえの正しさはテキストで確認してほしい。自分の理解が違っている、という可能性があるわけだしね。特にVに対するUの取り方については自分の書き方が悪い気もするし、どういうことかは確認してほしい。
さて、まずはこの同値性を証明するけど、①から②への言いかえは良かろう。開近傍は近傍なんだから自明のこと。逆に②から①へはこんな感じ。
まずは近傍の定義を使って
となる。さらに開近傍の定義から次が成り立つ。
これで仮定の②が使えてこうなるだろう。
するとこのUを使ってこういう包含が成り立つから証明終了、と。
大丈夫だと思うけど、とりあえずこんな感じか。テキストにやれ、と書いてあったし、自分としてもそのつもりだったけど、思ったよりはすっきり証明できたと思う。あと図中の「だら」は「だから」ね。
さて次だけど、近傍の全体は基本近傍系、開近傍の全体は基本近傍系は良かろう。定義を理解してればそのまま、という感じだし。一つ注意するとすれば、あくまでXの元xについての話、ということかな。
この辺は自分的には微積分の連続の定義、点aにおける連続、とかそういうことを思い起こさせる。それが正しいかはわからないけど、あくまで1点における話、ということだけど。
続いて距離空間における基本近傍系の話なんだけど、これは注意が必要だと思う。まずはテキストによる定理を見てみる。
を距離空間とする。このとき、 に対して次の集合族は の における基本近傍系である。
Uxのxが変な場所に出てるけど、気にしない。気になるならテキストで確認のこと。そもそもこの定理の問題はそんなことではないのでね。
さて、この定理を見ると距離空間からいきなり基本近傍系の話が出ている。しかし基本近傍系は近傍を用いて定義されているし、その近傍は開集合を使って定義されているわけ。
ということは思考の土台にあるのが位相空間なわけで、それを指摘せずに距離空間で話を進めるのは、少なくとも自分レベルの学習者にとって不親切であるのは間違いないだろう。自分で言うのもなんだが。
もちろん距離空間から開球、開集合、位相、という一連の流れがあるのは学習済みだが、それを一言添えてあるだけでずいぶんわかりやすさが向上するはず。著者にはそういう気遣いを失ってほしくないと思うがどうだろう。
さて、その辺をしっかりとらえられればこれらが基本近傍系になるのも自明と言えるだろう。
最後に離散空間、すべての部分集合を開集合とする位相空間ね、これについての考察も定義の確認には有用だと思う。一点集合｛x｝が開集合であることとか、開近傍であることとか、さらに基本近傍系としてはこの一点集合一つだけで充分であることとか。
これらはすべて定義から直接出てくることだけど、理解がとっ散らかってるようだと何を言ってるのかわからない、ということは普通にありそう。その辺はまとめておきたいね。
あと孤立点、という用語が出てきたね。
位相空間 の点 は、 が開集合であるときに孤立点(isolated point)であるという。
これが今後どうなるのかわからないけど、用語の定義はきちんと頭に入れておくべきだろう。
さて、今回はこんなところ。自分なりに理解可能なレベルまでやる必要があるので、わかってる人にはいかにもくどい、ということはありそう。でもこればっかりはしょうがない。
どこまで戻れば理解できるのかは人によってさまざまだろうし、自分としては自分が理解出来るところまで行かなきゃどうにもならないし。
今後もくどい話が続くだろうけど、それについてはあきらめてもらうしかないだろうね。
