群の作用と軌道とか固定部分群についての関連がやっと見えてきた感じ。

作用について結構考えたけど、やっと光が見えてきた感じです。ところでなぜこの項目はここまで難易度が高いのか？というのはひとつには群論の学習の進め方にあると思う。

数学の教科書で群論を勉強してるとひたすら群の元をいじるというか、少なくとも群に関して動きを感じることはほぼないと思う。その結果、作用と群の元同士の演算の区別がつきにくくなる、ということなんだと思う。

それを解決するためには例えば正多面体の合同変換なんかを見ることで、集合とそれに作用する群というものが割とスムーズに頭に入ってきたよ。自分は物理のかぎしっぽで何とかモノにすることが出来たと思う。まぁスムーズは言い過ぎたか。でも何とかなった。

で、作用というものがある程度見えてくると軌道というものもわかるようになるはず。どういうことかというと、

まず集合Xと、それに作用する群Gを用意する。すると作用を使ってXの中に同値関係を入れることが出来るわけ。その同値関係を使ってXを類別したものが軌道、ということになるみたい。

つまり軌道というのはXの中の同値類のこと、ということになるはず。

一方同じく集合Xと、それに作用する群Gがあれば、これを使ってGの中に固定部分群と呼ばれる部分群を作ることが出来る。この部分群を使えばGを剰余類に分解できるから（この辺は群論でさんざんやったG/H的な話ね）、この剰余類と先ほどの軌道（Xの同値類）が一対一に対応する、ということみたい。

これでとりあえず固定部分群と軌道の数が等しくなる、ということになるだろう。

さらに軌道は単に同値関係を使った類別なので、各軌道に存在する元の個数は不明だけど、固定部分群を使った剰余類ならラグランジュの定理でさんざんやったように、各剰余類に含まれる元の個数は等しくなる、

ということは、(Gの位数)=(固定部分群の位数)×(軌道の個数)、ということになるだろう、とそんな感じかな。

まぁ一応言っておくけど、自分は現在一から群論を学習中の身なので、間違ったことを言ってる可能性は考慮してほしい。あとで文句を言われても自分にはどうにもできないというかね。

さて、とりあえずこんな感じで一歩進んだ、ということだけど、この先もまだ新しい用語とかのオンパレードだし、今日やったところだって復習は欠かせまい。

でも群論というといかにも大学数学、という感じだし、モチベーションを維持しつつ完璧を目指したいね。