作用以降の学習だけど、とりあえず用語とか定義の確認に苦労してます

とりあえずあちこち調べて学習中の群論です。現状は新しい概念の理解に忙しい感じ。さらに今の調子だとしばらく時間がかかりそうだし、その前に一回記事を挟んどくか、という感じなわけ。

で、わざわざ記事を挟むのには理由があって、共役類とか類等式の項目で引っかかったからです。

恐らく根本的には同値関係とか商集合とかの、もっと根本的な部分の話だと思うんだけど、共役類を学ぶ過程でS3を共役という同値関係を用いて類別するんだけど、そこで出てくる3つの共役類がこちらなわけ。

｛e｝｛(1 2),(1 3),(2 3)｝｛(1 2 3),(1 3 2)｝

で、今まで自分としては同値関係によって類別されたそれぞれの類に含まれる元の個数は全部同じだと思ってたんだよね。それに思いっきり反例を出されてしまったので戸惑ってるというか。

で、改めて同値関係とかの部分を色々調べてみても、確かに同値類に含まれる元の個数が全部同じ、という主張はどこにもなかった。

一方で群を部分群で割る形の剰余類だと、各剰余類に含まれる元の個数は一致する、というのがあるし、そもそもラグランジュの定理はそういうものだったはず。

こんな感じであれこれ迷ってるわけです。

今のところの理解だと、どうも群を部分群で割る形の同値関係、つまり群論でさんざんやってきた形のやつだけど、その同値関係が特殊というか良い性質が備わった同値関係であって、一般の同値関係だと同値類に含まれる元の個数が一致するとは限らない、ということなのかな。

まぁ共役類で反例が出てるわけだから、それは間違いないと思うんだけどさ。

さて、とりあえずこんなところかな。これでこちらの現在の様子が伝わったと思うけど、いずれこの辺も含めてまとめたいね。

でも最初にも言ったとおり、今は新しい用語の確認作業に大わらわで余裕がないのも確か。とりあえず一歩ずつ進むつもりだけど、しばらくはかかりっきりになりそうです。