基本近傍系の性質とか
ここの所ちょっと忙しくて勉強が滞りがちかな。そのせいで分量も決して多くないけど、まぁちょっとずつでも先に進むように心がけるしかないでしょうね。ともかく本日は基本近傍系の性質について。テキストはいつも通りこちらからね。
で、早速だけど基本近傍系の性質として4つほどあげられてます。こんな感じ。
きちんとした表記はテキスト参照のこと。自分としてはこれくらい書いてあれば十分だろう、と。あまり良くないとは思うけどさ。
さて、基本近傍系の性質を確認する、という箇所だけど、これは次回にこれらの性質を満たす集合族から位相を作る、という、いわば逆をたどるための準備と言えよう。
これは閉集合族から位相を作る、という流れと似たようなものか。ともかくそんな感じなので、とりあえず今は開近傍系の性質についてきちんと確認しておく必要がある、と。
さて、この辺を学習するにあたって欠かせないのが近傍や基本近傍系の定義。この辺はあまりにしばしば使うので、改めてここに定義を出しておく。いちいち別で確認するのも面倒だしね。
さて、これで準備が整ったのでそれぞれの性質を証明していく。まずはNB1だけど、これはテキストにはきちんとした証明が出てないし、かといって、その内容もよくわからんので自分で証明する必要があるわけ。こんな感じね。
以上。NB2もついでに。ちなみにこれらは合わせて①みたいな感じでまとめてる講義も見たよ。自分としてはこうして細かく分けてくれた方がありがたいけどさ。
あと、テキストでXがUxに含まれる、と書かれてるんだけど、これは良くわからんね。正直間違いじゃないかと思うけど、それも確信をもって言えるものじゃないし、無視するしかないか。
でも教科書が間違ってる、というのは決して珍しいことではないし、一応そういう可能性も考慮に入れておくか。そのうえで自分が理解できる範囲での証明を自分で探す、と、そういう態度が重要だと思うわけ。
続いてNB3。こんな感じね。
一旦開集合を挟む、というのがミソと言えばミソか。そうでないと共通部分についてうまく話がまとまっていかないと思う。でもそこさえ通ればほぼ一直線で証明が終わる印象。
最後にNB4ですね。
こっちは条件から基本近傍系に属する集合を構成する感じか。証明が二つに分かれるので、それだけは注意かな。まぁ見にくい、という感じでもないと思うけど。
今ちょっと思ったけど、UyからWが取れる、というのはNB1を使ってる、と言えるのかな。それで問題はないと思うけど。学生ならすぐに質問できるんだけどね。この辺はまぁしょうがないので、自分なりに納得するしかなかろう。
さて、これで基本近傍系の性質は一通り終了。ひたすら定義を確認する作業が続いた印象だけど、そのおかげで位相に関するさまざまな定義もだいぶ身についてきたように思う。
これなら次も行けると思うけど、次はテキストで初学者は読み飛ばしも可、とか書いてあるので不安はあるかな。まぁそれもあって、いったんここで切った、というのもある。
今の自分ならついてけないことはないと思うけど、果たしてどうなるかね。
