まぁとりあえずやるしかないから始めますか。位相の定義とかについてです。
なんとなくやる気が感じられないタイトルだけど、実際はそんなことはありません。むしろ自分としては楽しみ、という部分も大きいです。
でも、だからと言って位相をきちんと理解できるのか？というと不安も大きいわけで、その辺の複雑な気分がああいうタイトルになったわけ。
まぁいいや。とりあえず始めますか。今回の講義はyoutubeじゃなくてこちらから。
実際に見てみると何とかついていけそうな気がするし、まずはこれで取り組んでみますね。
位相の最初ということでまずは定義だけど、これはいいか。ざっくり言うと集合Xについて、その部分集合族Oを考えるわけ。その集合族が例の3条件を満たす時、その集合族OをXの位相、と呼ぶ、と。またOの元、それは一つの集合だけど、それを開集合と呼ぶ、と。
さらに位相の定まった集合Xを、位相とセットで位相空間と呼ぶ、と。この辺はテキストにきれいに書いてあるので、むしろそっちを参照するべき。
さらに位相空間において閉集合を開集合の補集合として定めると、閉集合に関する例の3条件が成り立つ、と。ざっとこんな感じです。
閉集合族に関する考察で、集合の包含とかが出てくるけど、そっちは自分で復習しておいた。でも論理式までさかのぼってやっと理解できた、という感じだし、そっちはそっちで決して甘くなかったけどね。
さて、開集合族、閉集合族と、各々の3条件は互いに密接に関係していることとか。
具体的にはXに位相を入れる、というのはXに開集合を定義する、と言えるだろう。そこから閉集合を考えることが出来て、さらにその閉集合全体は閉集合族の3条件を満たす、という流れ。
これは逆に考えることが出来て、集合Xに、まず閉集合族の3条件を満たす集合族を設定すると、その補集合が定義できるだろう。そうしてできた補集合全体は、実は開集合族の3条件を自動的に満たすので、じゃあその補集合全体をXの位相として定義できるだろうから、その元は開集合、と呼べるだろう、という感じ。
わざわざ閉集合から物事を考える意味はあるのか？と言われると今の自分では何とも。でもなんとなく閉集合の方が思考がしやすい、ということはありそうな気がする。開集合で考えると思考が散らばりやすいというか。
だから、まず閉集合で考えて、最後にその補集合として開集合、或いは位相を考えるというのは手段としてはアリなんだろうと思うよ。手持ちの材料は多いに越したことはないしね。
最後に具体的な位相の例だけど、密着位相、離散位相、補有限位相の三つが例示されてるけど、これらはいかなる集合においても定義可能みたい。なぜなら定義自体が集合の話しかないし、ならばXが集合ならどんなものであろうと同じ話ができるだろう、と。
ただこの三つの中で補有限位相だけは初見だと思う。もしかしたら大学の講義で出たのかもしれないけど、いや、おそらく出たんだろうけど、一つも記憶にないし、まぁ初見、ということでよかろう。当時位相の授業を担当した教授には申し訳ない気分ですが。
まぁそれは置いておいて補有限位相だけど、定義からして閉集合で考えたほうが考えやすいのは確か。
{X}∪{F⊂X∣F は有限集合}
{∅}∪{X∖F∣F は X の有限部分集合}
という定義だけど、補有限位相の定義は下ね。でも上の方が明らかにわかりやすいよね。だからこそ、閉集合から先に考える、というのは状況次第では強力な武器になりうるんだと思う。
ところで補有限位相についてだけど、とりあえず位相になるのはいいとして、じゃあそもそも何なんだ？という疑問もないでもない。
ちょっと調べるとザリスキー位相とか、そんな言葉が出てくるけど、今の自分には縁のない話だろう。講義もこの辺は特に触れてないし、まずはこんな位相もある、というくらいでお茶を濁しておく。
さて、まずは手始めとしてこんなところにしておきますか。一応補有限位相についてはyoutubeとかでも確認しておきたいし、これに絞るなら効果的な講義も見つかると思う。
次回は距離を使った位相の入れ方考えるみたい。今はとりあえず与えられる課題を一つ一つこなしく行く感じで行くよ。
