共役作用をテーマに共役類を考える

共役類とかを勉強すると共役関係の定義から入るイメージ。その定義自体は難しいものではないし、作用とかの知識なしでも話が進められるからか、割と好まれるルートなのかな。

でもそのルートで学習すると共役類とか類等式、とか、或いは位数とかの話になると訳が分からなくなる気がするんだけどどうだろう？

何というか、今までの学習とは全く関係のない話をぶっこまれるというか。

そこでここでは、というか、自分は共役類を理解するのに共役作用から入っていくことにしました。作用についてはここまでで結構勉強してるし、それなりに理解もしてるつもりだし。

その結果、まぁまぁ何とかなっただろう、というところまで来たので一度まとめてみます。

まずは共役作用ということでこんなイメージを考える。

で、作用が出来た、ということはxを一つ固定して軌道と安定化部分群が出来る、ということ。こんな感じね。

軌道の方はともかく、安定化部分群の方は可換が大いに関係してることがわかる。それにこの形は見覚えがあるし。まぁとにかく先に進みますか。

作用が出来た、ということは同値関係を持ち込むことが出来る、ということで、その定義がこちら。

さらに軌道が一致する、ということは、例えばこの場合ならaがxの軌道に入る、ということだから、定義の右辺はこんな風に書き換えることもできるだろう。

さて、ここでもう一つ、作用からくる同値関係によって類別された同値類をC(x)とすると、前回だったか前々回だったかの記事で見たようにこれがxの軌道となるのだった。すなわち

これは自分としては証明済み、というイメージなんだけど、意外と他で見ないんだよね。もしかしたら間違ってるかも、と不安を感じつつ、当面はこのままいくのでよろしく。

さて、とりあえず共役作用によってこれくらいのことが直ちに出てくるわけ。いずれも作用だけから出てくるので、最初から手持ちの情報が豊富というか。逆に言うなら作用を使わずに共役類のことを考えるとこの辺が全然使えなくなるし、そのことに気付いてからは作用をきちんと身に付けるようにしたわけ。

続いて一旦新しい群を二つ定義する。中心と中心化群ね。それぞれこんな感じ。

Hの定義は部分群でなくて集合、というのも見たけど、定義の中の演算を考えるならむしろ部分群と考えるのが普通だろう。そうした定義も見たので、ここではHはGの部分群として考えます。

さらに中心化群のHをxで生成される部分群とする。つまりこんな感じ。

生成群から持ってくる文字は別にするべきだったか。まぁ言いたいことは伝わるはず。この段階でxa=axのxはxのべき乗になってるわけ。生成群の元なんだから当然のはず。で、べき乗の元と可換ということを考えるためにこちらを見てほしい。

これはxと可換なら、xの二乗とも可換となることを示してるけど、これはつまりxのn乗とも可換である、ということになろう。逆に生成群の任意の元と可換ならxの1乗とも当然可換だから、以上を踏まえると最初に出てきたxの安定化部分群と中心化群との関係が見えてくる。すなわち

が成り立つはず、と。

さて、これでここしばらく考えてたことのまとめが終わったけど、以上をもとに各剰余類や群、部分群、同値類とかの関係をまとめたのがこちら。

さらに位数にについて明示するとこんな感じになる。

とりあえずこんなところかな。各集合と位数の関係とかつながりなんかがかなりはっきり見えてきたと思う。

次回は類等式とかの集合の位数を扱う予定なので、その前にこうしてまとめておいたわけ。これで何とか先に進めるようになったと思うんだけど、どうなるかな。