位相について、とりあえずの方針とか色々考えてみたけど、とりあえずカテゴリーは雑記で。
位相というと恐らく多くの大学生がくじける分野なのではないか。さらに言うなら、自分は多少は出来るとか、頭が悪くないとか、そういう根拠のない自信を木っ端みじんにしてくれるのが位相だと思う。
自分の経験を言うなら、大学で数学を勉強してた時に初めて授業が一言も理解できなかったのが位相というものだったよ。
今から考えるとさすがに一言も理解できない、は言い過ぎだと思うけど、それくらいのショックだったのはよく覚えてるし、その後の学習でも進展した気が全くしなかったし。実際全然進展はなかったんだと思う。
一応位相は必修科目でもあったけど、教授もどうやって学生に単位を与えるか苦労したんじゃないかね。まさか全員留年、というわけにもいかないだろうし。全員やる気なし、とかならともかくさ。おそらくお情けで単位を得たのは間違いなかろう。
一応言っとくけど、まぁそれなりにまじめに勉強はしたと思うよ？図書館とかにも通い詰めたし、質問とかもしてたし。でもさっぱりなんだよなぁ。ちょっと当時を思い出して鬱になった。
さて、そんな感じで色々インパクトのあった位相の講義だけど、次回からはその学習に取り組んでみようかと。正直自信は皆無だけど、学生の当時とは状況も環境も違うし、試験に追われることもないし。それに今やらなかったらもう一生位相を理解することはないだろうと思うとちょっと悔しくもある。
そういうわけで位相の講義に使える動画とかホームページを探したんだけど、なかなか適当なものが見つからない、というのが本音。
もちろんきちんと書いてあるものもあるんだけど、かっちりし過ぎてて自分の理解が及ぶのか？という不安を感じるわけ。まぁ講師や著者からすればそんなことを言われても困ると思うけどさ。
とりあえずどれをとっても不安がある、というか不安の原因が自分自身にあるんだからどうにもなるまい。そこで調べた結果、とりあえずここを軸にしていこうかな、と。
多くの科目も見つかるし、見た感じ、位相についてもどうにもならないと感じるほどではない。それに位相について一通り網羅されてるようだし、最悪目次として利用することもできるだろう、と。もちろん理解が目標だけどさ。一応主に利用するのはここね。
その他だけど、軸が決まれば後は項目ごとにわからない部分を個別に調べて進めていく、という感じかね。どこまで行けるかわからないけど、とりあえずそんな感じで行こうと思う。
さて、とりあえずこんな感じだけど、学習以前、ということでちょっと位相について考えてみる。連続についてなんだけど、とりあえず普通のユークリッド空間での話。とりあえずこんな関数fを考えて
これが連続であることの定義を二つ書いてみる。
上がいわゆるεδを使った定義で、開球を使ってるからちょっとわかりにくいかもだけど、よく見れば納得が出来ること。一方下は位相でよく使われる連続の定義ですね。
この二つが同値であることを示す、というのが問題なわけだけど、そのために必要な道具が集合における写像なわけ。位相というのがしばしば集合とセットで語られるのは決してだてじゃない、というか。
でも集合における写像って、ほら、たくさん式を並べられて、これらが成り立つだとか、逆の包含は成り立たないとかさ、とても覚えきれるか、と切れた覚えはないだろうか？切れはせずとも適当に流すのが普通の学生というものだろう。
でも位相を学ぶなら、適当に流して終わりじゃあどうにもならなくなるわけ。少なくとも位相を学ぶ際にもう一回一からやり直すか、ということにならないと、結局位相が理解できないまま終わるんじゃないか、というかね。
ちなみに上の、関数の連続性を示すために必要な集合としての材料はこれくらいかな。
として、まずは逆像の定義。
薄くて申し訳ない。でも単に逆像の定義だけです。でもこれをきちんと使えるか、というと意外と難しい印象。
さらにもう一つがこちら。
これは上の逆像の定義をきちんと使えるなら証明は難しくないと思う。一応こんな感じね。
これを示すために逆像の定義しか使ってない印象けど、初見でサクサク出来る、というものでもないだろう。逆に言うなら定義として明示されていても、それがきちんと使えるようになるには経験がいる、というかね。
ともかくこれで連続の同値性を示すための道具がそろったので、後はまぁMathpediaを見てもらえばよかろう。普通に理解できるし。
さて、とりあえずこんなところだけど、次回から位相を学習するにあたって気を付けるべきことは、わからない部分をないがしろにしない、ということかな。たとえ進行が遅くても着実に歩を進める、という感じで行こうと思う。
理想を言えば3月中には、わかった、と言えるようになりたいけど、果たしてどうなるかな。まぁあきらめることはないと思うんだけどね。
