微分というものをきちんと整理できてないと、結局多変数関数のところで躓くようだ

高校までは微分といえば一つしかないので簡単だったと思う。少なくとも微分とは何か？ということで悩むことはあまりなかったし、仮に悩んだとしても定義に立ち返って考えることは比較的簡単なことだった思う。

でも大学で多変数関数を扱うようになると微分にもいろいろあるというか、あれこれ似たような言葉や状況が出てくるので、その辺をきちんと整理できないと、結局言葉の波にのまれて訳が分からなくなると思う。

たとえば多変数関数の微分といっても、偏微分、全微分と出てくるし、全微分に関してはある文字に関する微分、ということではないので、正直どう使うのかもよくわからないというか。

まさか接平面を求めるためだけにあるわけでもないだろうし。

さらに新たに多変数関数の微分、というものも定義されるよね。勾配とかgradというやつだけど、偏微分で定義されるこの勾配というやつも微分という言葉でくくられるので、このあたりから訳が分からなくなってくる印象なんだけど。

さらにさらにベクトル値関数の微分とかが出てきて、ぼーっとしてると直前の多変数関数の微分とまぜこぜになることもあろう。ついでにこの微分がヤコビ行列という形をとるとか、多変数関数の微分であるgradが実はヤコビ行列だとか、もう目玉がぐるぐる回ってもおかしくない状況というか。

この辺を一旦まとめるのに有用なのが合成関数の微分、ということになるのかな。ヤコビ行列を二つ並べて合成関数の微分を計算するとかは、変数が増える状況では必須だと思うけど、計算慣れしてない状況だとあれこれ試行錯誤は欠かせまい。

そんな中で陰関数定理の分枝φの微分とか。特にf(x,φ(x))のxに関する微分とかかな。教科書ではxに関する偏微分とか書いてあったので、正直宇宙猫状態だったよ。

そんな感じで、この辺は普通のレベルの学生なら割と共感してくれるんじゃないかと思うけどどうだろう？

とりあえず今の自分はかなり理解が進んでるし、割といい感じだとは思うんだけど、それでも例えば大学1年生に解説してみろ、と言われたらとても無理というか自信は全くない。

それでもあきらめるつもりはないけど、よくわからないところはある程度やったら先に進む、というスタイルは重要かもね。そうでないといつまでも同じところで躓くし、さらに言うなら先に進むことで見えるものも出てくるだろうし。

そんな感じなので、もうちょっとラグランジュに付き合ったら、次は線形代数の続きに取り掛かるつもり。明日か明後日にはそっちに取り掛かりたいけどね。