広義積分の復習でロピタルの定理が使われてたので、改めてそっちも復習してきたけど、結構大変だった

現在広義積分の復習中だけど、複数回ロピタルの定理が出てくるんだよね。で、ロピタルの定理というと微分のところで一応やったわけだけど、証明については分子分母が０になるときだけで、あとはそれぞれで、という感じだったと思う。

でもその証明をあらためて見てみると、分子分母が無限に飛ぶときには通用しないんじゃないかと思ったわけ。

一方でロピタルの定理は分子分母が無限の状況でも成り立つというし、これは一度確認するべきだろうと。

一応他の動画もさらっと見てみたけど、いずれも無限バージョンの証明は割愛されてるみたい。ここまで来てこれは何かある、というか、面倒を避けたい、という意図を感じるようになったんだけど。

もちろん実際のところはわからないけど、仮に講師が面倒を避けたいと思ったとしても気持ちは十分に理解できるよ。ここまでの講義だって十分に初学者に気を使っているのが見て取れるし、そのくらい自分でやってくれ、というのももっともだと思う。

自分としては逆に奮起して、そのくらいは自分で調べて納得してみようかと思ったわけ。

で、学生時代に使ってた微積分の教科書を引っ張り出してみたら、無限バージョンの証明が出てたんだけど、やはり大学の教科書ということでよくわからない。

それでググってみたんだけど、確かにロピタルの定理は便利である一方、大学受験で使うのは危険性が高いとか、そういった記事をいくつも見てね。

前提条件をきちんと明示できるだけの理解がないなら安易に使うのは問題だというのがよく伝わってきました。久しぶりで大学受験レベルの記事を見た気がする。

さらにいくつかのサイトではきちんとした証明もできていないとか、そういうこともあるみたい。ならばなおさら一度きちんとまとめておかないと、ということで先に進みました。

そんな感じで分子分母が無限バージョンの証明をやってみたけど、δの範囲に色々閉じ込めて考えていく感じは斬新だった。

とりあえず参考はこちら。

ロピタルの定理についていろいろなバージョンの証明が載っているので参考にできることが多いと思う。

初見だとたくさんの文字に飲み込まれて理解が追い付かないけど、きちんと数直線上に範囲を書き出して一つ一つ進んでいけば、決して理解できない話ではないというか。

でもこれ一つをきちんと押さえるのに半日近くかかったし、ゼロバージョンと比べると難易度は確実に上だと思う。

正直言えば動画で無限バージョンの方も解説を置いておいてほしい気もするけど、なんだか最近甘えすぎかな、という気もするし、まぁたまにはこういった刺激があるのも悪くないのかもね。

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