シローの定理(2)、(3)は(1)をきちんとやっているなら特にどうということもない印象
本日はシローの定理(2)(3)に取り掛かります。と言っても(1)と似た論法だし、特に山と言えるものもなかった印象。
自分的にはむしろシローp部分群とかの定義の方で悩んだ。なんとなくだけど、シローp部分群て1個しかないと勝手に思い込んでたわけ。
でもよく考えると位数が同じでも構造の異なる群とか普通にあるわけだし、シローp部分群が一つとは限らないことを思いついたら色々納得できたよ。それまでは定理がおかしいんじゃないか、とか思ってたし。まぁさすがに自分の理解が足りていないだけだとは思ったけどさ。
そんな感じでシローの定理だけど、講義はいつも通りこちらね。
昨日の今日だし、悩むこともあるまい。
さて、シローの定理(2)だけど、他の講義とかだと形がちょっと異なることに気付く。p 部分群が、あるシローp部分群に含まれる、という風に。でもこれ、(3)と合わせることで同値命題であることはすぐに確認できるはず。ということでどっちでもいいんだろう、という感じです。
自分的にはAKITOさんの形の方が色々応用が利きそうな気がするし、そっちで学習できたのは良かったと思う。まぁ言葉だけなら向こうの方がわかりやすいんだけど、いざ手を動かそうとするとAKITOさんの方に軍配を上げざるを得ないだろう、と。
でも結局全部やることになるし、今はまずAKITOさんのやり方に従って勉強するのが良かろう。
で、前置きが長くなったけど、シローの定理(2)をざっくりと見ていくことにします。まずは作用から。
作用があれば軌道と安定化群を考える、ということでこんな感じ。作用の対象が剰余類、というのは初めて見たけど、落ち着いて考えればどうということもない。
さらに軌道が出来た、ということでこんな風に剰余類を軌道で分類できるだろう、と。
あとは講義を見ればやってることがシローの定理(1)と同じなので何とかなるはず。
で、とりあえず軌道に含まれる元が一つだけ、という結果を得る。
問題はここから何が言えるのか、ということだけど、これはgHにどんなkを作用させてもgHになることを示している。こんな感じ。
あとは作用に関して軌道と安定化群と、作用を受ける集合の位数の関係から結論を得るだろう、と。この辺は講義動画を視聴しないと何を言ってるのかわからないかも。興味があれば講義動画も見てみるといいと思うよ。
続いてシローの定理(3)だけど、これはAKITOさんも講義の中で言ってる通り、(2)からすぐに出る。でも動画の中でどうしようか迷ってた印象なのがこちら。
恐らく、簡単なことだしわざわざ証明するのもどうだろう、ということで迷ったんじゃないかと。結局スルーしたけど、HとgHg-1の間に全単射が普通に作れるので、問題はあるまい。
で、これが唯一、と言ってもいい山なので、これで終わりでよかろう。少なくとも自分的にはもう十分だわ。
さて、これでシローの定理(2)、(3)も終わりかな。恐らく問題はないと思うけど。ともかく次はいよいよ最後の(4)だけど、ここでは正規化群とかが出てくるし、何より講義の残り時間がまだ20分以上ある、という事実に不安を感じないでもない。
まぁここまで来たんだし、何とかなるとは思うんだけどね。ともかく群論もあと少し、ということで油断なく学習を進めますか。
